Overdamped システム（二次遅れ系）の自己相関関数の計算方法

Nです．今回はOverdamped システム（振動しながら収束するシステム）の自己相関関数の計算をPDFにまとめたので公開します(文章の最後のダウンロードボタンから見ることができます)．

対象とするシステムは以下の伝達関数を持つ二次遅れ系です．

$$H(s) = \frac{as + b}{s^2 + 2\zeta w_n s + w_n^2}$$

内容としては留数定理を利用した逆ラプラス変換，ホワイトノイズの自己相関関数の計算，指数関数の積分，オイラーの公式，三角関数の合成とかを利用して計算していきます．

答えは以下の式になります．

\begin{align}
&\mathrm{E}[X(t+\tau)X(t)]
= \frac{\sigma^2e^{-\zeta w_n \tau}}{\cos \theta} \cos (\sqrt{(1-\zeta^2)w_n^2} \tau – \theta)
\end{align}
このとき
$$\cos \theta
= \frac{(b^2+a^2w_n^2)}{\zeta w_n\sqrt{( \frac{1}{\zeta w_n}(b^2+a^2w_n^2))^2 + (\frac{1}{\sqrt{(1-\zeta^2)w_n^2}}(b^2-a^2w_n^2))^2}},
$$
$$\sigma^2=\frac{D(b^2+a^2w_n^2)}{4w_n^2\zeta w_n}.$$

\(D\)はホワイトノイズの分散．

意外と大変な計算なので計算する必要がある人の参考になれば幸いです．