３次元空間内の運動方程式

平面(2次元)内の運動と空間(3次元)内運動の違い

平面内の固定されていない物体は３自由度あります．
３自由度の内訳は平行移動に関する2自由度と，回転の1自由度です．
この回転の自由度が1というところがポイントで，平面内では常に同じ軸回りに回転します．
そのため物体をある時刻に\(\theta\)回転し，そのあとに\(\phi\)回転した場合，合計で\(\theta + \phi\)の回転した姿勢になります．
回転の順番を交換して\(\phi\)回転して\(\theta\)回転しても物体の姿勢は同じになります．
これが成り立つのは常に同じ軸回りで回転しているからです．

３次元空間内での物体の回転軸は3自由度あります．
そのため回転軸は必ずしも同じではなく\(v\)軸周りに\(\theta\)回転してから\(v’\)軸周りに\(\phi\)回転した状態と，\(v’\)軸周りに\(\phi\)回転した後に\(v\)軸周りに\(\theta\)回転したときの姿勢は通常異なります．
つまり回転の順番を交換することはできません（二つの回転の軸が同じ場合を除いて）．

3次元空間内の剛体の運動方程式

\[ \begin{bmatrix}
m_{RR} & m_{R \theta} \\
m_{\theta R} & m_{\theta \theta}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\ddot{R}\\
\ddot{\theta}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(Q_e)_R\\
(Q_e)_\theta
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
(Q_v)_R\\
(Q_v)_\theta
\end{bmatrix}
\]

これが３次元空間内の運動方程式です．
２次元空間における\(m\ddot{x}=F\)，\(I\ddot{\theta}=\tau\)をまとめたような式になっています．

以下工事中です（各文字の説明を加える）

参考文献

・Computational Dynamics Third Edition, Ahmed Shabana